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Aplicaciones de la derivada


Autores: Anna López Ratera (alopezrat@uoc.edu), Cristina Steegmann Pascual (csteegmann@uoc.edu)


INTRODUCCIÓN

Una de las mayores dificultades que se tiene al comenzar a estudiar la derivada de una función es la comprensión de sus aplicaciones (principalmente su significado geométrico). Mientras que el cálculo de derivadas suele resultar sencillo e incluso atractivo (dada la mecánica del proceso), las aplicaciones de la derivada se convierten en un problema complejo, aunque no lo sea, debido a que en muchos casos no se ha conseguido asimilar y adquirir el concepto con claridad.

Los materiales que se muestran en este math-block tiene como objeto el familiarizar al lector con los conceptos de límite y derivada de una función así como mostrar algunas de sus aplicaciones (cálculo de la recta tangenta y normal de una función en un punto, construcción de gráficas, ortimización de funciones, aplicaciones en una situación física particular...) que tanto interés tienen hoy en día sobre un amplio abánico de campos (económico, social, físico, ...).




OBJETIVOS

Mediante este math-block se pretende que el estudiante adquiera las habilidades siguientes:

  • Consolidar el concepto de derivada de una función.
  • Profundizar en el cálculo de límites y derivadas.
  • Conocer las aplicaciones de las derivadas.
  • Aprender el mecanismo de cálculo de un límite mediante la regla de l´Hôpital.
  • Conocer y comprender la relación existente entre la representación gráfica de funciones y las derivadas.



CONOCIMIENTOS PREVIOS

En este math-block se abre el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: las aplicaciones de la derivada de una función. Es, pues, de capital importancia dominar el cálculo de límites así como el de derivadas (vease el math-block "Derivadas") para poder abordar, después, las aplicaciones de éstas así como para comprender, posteriormente, el cálculo integral (vease el math-block "Integrales").




CONCEPTOS FUNDAMENTALES

En elementos del cálculo diferencial podemos consultar cálculos de derivadas y límites junto con sus diferentes aplicaciones. En concreto podemos consultar aplicaciones derivadas para una introducción a las aplicaciones de las derivadas y un recordatorio rápido del cálculo correspondiente.

Para las siguientes aplicaciones de las derivadas adjuntamos diferentes enlaces de interés:

Recta tangente y normal de una función en un punto: Ver derivada y sus aplicaciones, concretamente las páginas 2 i 3.

Representación gráfica de funciones derivables: En extremos relativos e intervalos de crecimiento de una función se introducen algunos elementos sobre la construcción de gráficas de funciones derivables, utilizando como herramienta las derivadas. En esta sección se estudian máximos, mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento. Para la construcción completa y guiada de gràficas de funciones derivables consultar los enlaces gráfica de una función derivable A y gráfica de una función derivable B.

Optimización de una función: La optimización de una función aparece en una gran número de problemas de interés en un amplio abánico de campos (económico, social, físico, ...). Una introducción intuitiva la podemos consultar en optimización de funciones.

Cálculo de límites-Regla de l'Hôpital: En límites-regla de l'Hôpital se estudia la Regla de l'Hôpital, técnica muy eficiente para el cálculo de ciertos límites que utiliza el cálculo de derivadas.

Velocidad y aceleración: En derivada-velocidad se interpreta la derivada como la velocidad y aceleración en el contexto de una situación física particular.

Especialmente interesante e interactivo es el programa de cálculo de derivadas A que calcula la gràfica, la derivada y la recta tangent en un punt. programa de cálculo de derivadas B es otro programa similar.




EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicios de cálculo de límites-Regla de l'Hôpital: En ejercicios de límites-regla de l'Hôpital I podemos encontrar un apartado con ejercicios totalmente desarrollados sobre el cálculo de límites mediante la Regla de l'Hôpital. También hay una gran variedad de ejercicios sobre cálculo de derivadas. Otro enlace con ejercicios resueltos de cálculo de límites es ejercicios de límites-regla de l'Hôpital II.

Optimización de funciones: En ejercicios de optimización de funciones podemos encontrar ejercicios sobre máximos y mínimos de una función.

Problemas mezclados de derivadas:

En ejercicios de derivadas variados podemos encontrar gran variedad de ejercicios y problemas con derivadas, tanto gráfica de funciones, rectas tangentes, optimización de funciones,...

Aquí podemos descargar un archivo donde se descargan diversos archivos en formato Word con dos primeros apartados sobre derivadas: 1. Concepto de derivada y 2. Aplicaciones: Optimización y gráfica de funciones. Concretamente podemos encontrar bastantes ejercicios resueltos de derivadas.




BIBLIOGRAFÍA
Ballvé, María E. (1993): "Elementos de análisis matemático". ISBN: 84-88667-02-7. Capítulo 5.
Demidovich, B. P. (2000): "5.000 problemas de análisis matemático". ISBN: 84-283-0855-1. Parte I, cap. 2.
Fernández Novoa, Jesús (1991): "Análisis matemático I ". ISBN: 84-362-1667-9. Unidad didáctica 2, capítulos 4 y 5.
Guzmán, Miguel de; Rubio, Baldomero (1990): "Problemas, conceptos y métodos del análisis matemático: estrategias del pensamiento matemático ". ISBN: 84-368-0555-0. Vol 2, capítulo 5.
Salas, Saturnino (1994): "Calculus: cálculo de una y varias variables con geometría analítica". ISBN: 84-291-5153-2. Vol 1, capítulo 3.



ENLACES
Página web del Proyecto Descartes del Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Es de destacar las "Unidades Didácticas" del Proyecto.

http://www.cmark-gip.es/jano/mate/mate.htm

Web del profesor JANO. Contiene una gran variedad de problemas resueltos.

Web con ejercicios resueltos y herramientas para desarrollarlos.

Web "OK math". Contiene problemas resueltos de matemáticas (nivel bachillerato y universidad).

Web del proyecto Thales.

Pàgina web del Sector matematica.



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