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Integrales


Autores: Patrici Molinàs (pmolinas@uoc.edu), Juan Francisco Monge (jmonje@uoc.edu), Anna López (alopezrat@uoc.edu)


INTRODUCCIÓN

La integración y la diferenciación están íntimamente relacionadas. La naturaleza de esta relación es una de las ideas más importantes en matemáticas, y su descubrimiento (hecho por Leibniz y Newton de manera independiente, y mejorado por Cauchy y Riemann posteriormente.) sigue siendo uno de los avances más importantes de los tiempos modernos.

El cálculo integral surgió de la necesidad de resolver el problema de la obtención de áreas de figuras planas. Para ello se aproximaba exhaustivamente la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de áreas conocidas y apareció el concepto de integral. Con esta idea apareció el concepto de Integral Definida. Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les denomina límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b

Otra aplicación fue predecir la posición futura de un objeto en movimiento a partir de una ubicación conocida y la fórmula de su función velocidad. Este es un ejemplo claro en el cual se debe determinar una funcíon a partir de una fórmula de su razón de cambio (velocidad) y de uno de sus valores (posición inicial). De aquí surgió el concepto de Integral Indefinida y primitiva de una función.




OBJETIVOS

Mediante este math-block se pretende que el estudiante adquiera las habilidades siguientes:

  • Conocer y comprender el concepto de integral.
  • Aprender el cálculo de primitivas de una función de variable real.
  • Conocer la diferencia entre integral indefinida y integral definida.
  • Aprender el cálculo del área que determina la gráfica de una función de una variable sobre el eje x.
  • Introducir el cálculo de áreas de figuras planas.
  • Introducir el cálculo de volumenes.



CONOCIMIENTOS PREVIOS

Para entender el concepto de integral y el cálculod de primitivas es essencial un conocimiento básico de las funciones de una variable real (véase los math-blocks "Representación de funciones en 2D", "Funciones Reales de Variable Real" y "Continuidad de Funciones"), así como un conocimiento introductorio en sucesiones y series de números reales (véase los math-blocks "Sucesiones de números reales" y "Series de números reales"). Es necesario dominar los conceptos de límite y derivabilidad de funciones de una variable real (véase con detenimiento los math-blocs "Límites de funciones", "Derivación de funciones" y "Aplicaciones de la derivada").




CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Para una introducción intuitiva podemos consultar al concepto de integral integral definida i aplicaciones. En la misma linea profundizando un poco más con algunos con algunos cálculos elementales y sus aplicaciones al cálculo del area de una función podemos visitar integrales I.y integrales II.

Una visión un poco menos intuïtiva del concepto de integral junto a sus propiedades y aplicaciones podemos consultarlo en integral de Riemann.

En el siguiente enlace calculo de integrales encontramos separados por temas un completo estudio de la integral así como métodos para calcularlas. Los temas referentes a integrales abarcan des de "Función primitiva" hasta "Volumenes de cuerpos de revolución". Para el cálculo explícito de integrales ir directamente a los temas que siguen desde "Integrales immeditas" hasta "Integrales por reducción".

Nos puede será útil para el cálculo de integrales la siguiente Tabla de integrales immediatas.




EJERCICIOS RESUELTOS

Una gran variedad de integrales definidas con solución desarrollada podemos encontrarlos en la siguientes direcciones:

Integrales definidas I y Integrales indefinidas I: Ejercicios resueltos de cálculo de integrales separados por bloques.

Integrales definidas II y Integrales indefinidas II : Este paquete incluye un breve resumen en cada bloque sobre como calcular cada tipo de integral.

Integrales indefinidas III

Integrales indefinida IV.

Otro enlace interesante es el paquete de problemas con integrales que contiene una variedad de problemas que implican el uso de la integral (cálculo de àreas, cálculo de volumenes de cuerpos de revolución, ...).

Por otra parte, podemos utilizar el siguiente programa de Wolfram Research INTEGRATOR que calcula la primitiva de una función. Esta aplicación además de interesante es de muy fàcil manejo.




BIBLIOGRAFÍA

Apostol, Tom M. (1972): "Calculus". Vol.1: "Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal". ISBN: 8429150021.

Demidovich, B.P. (1993): "Problemas y ejercicios de Análisis Matemático". ISBN: 8428300496.




ENLACES
Página web del Proyecto Descartes del Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Es de destacar las "Unidades Didácticas" del Proyecto.

http://www.cmark-gip.es/jano/mate/mate.htm

Web del profesor JANO. Contiene una gran variedad de problemas resueltos.

Web con ejercicios resueltos y herramientas para desarrollarlos.

Web "OK math". Contiene problemas resueltos de matemáticas (nivel bachillerato y universidad).

Web del proyecto Thales.

Pàgina web del Sector matematica.



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