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MATRICES y DETERMINANTES


Autores: Cristina Steegmann (csteegmann@uoc.edu), Andreu Sintas (asintas@pie.xtec.es)



INTRODUCCIÓN

El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, la economía, la física, la estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra.

En este math-block presentamos algunos tipos de matrices, analizamos las principales operaciones con matrices y damos algunas aplicaciones del álgebra de matrices. Para completar el estudio sobre este tema se presentan los determinantes.

El concepto de determinante de una matriz cuadrada tiene una gran relevancia dentro de la teoría de matrices. Los determinantes resultan de gran utilidad a la hora de resolver determinados sistemas de ecuaciones lineales (los llamados sistemas de Cramer), discutir la existencia de solución de sistemas de ecuaciones lineales generales (mediante el concepto de rango de una matriz y del Teorema de Rouché Frobenious), y analizar la dependencia lineal de un conjunto de vectores.

Los campos de aplicación de la teoría de los determinantes y, en general, de la teoría de matrices son muy amplios, y abarcan desde las más clásicas aplicaciones en las áreas de la física, la economía, e ingeniería hasta aplicaciones más recientes como la generación de gráficos por ordenador, la teoría de la información, y la criptografía.




OBJETIVOS

Mediante este math-block se pretende que el estudiante adquiera las habilidades siguientes:

  • Conocer algunos tipos de matrices.
  • Conocer las principales operaciones con matrices.
  • Conocer algunas aplicaciones del cálculo matricial.
  • Aprender a calcular determinantes de órdenes 2x2 y 3x3.
  • Conocer las propiedades de los determinantes.
  • Mostrar algunas de las aplicaciones de las matrices y determinantes.



CONOCIMIENTOS PREVIOS

Es recomendable, previamente, poseer conocimientos relativos a la resolución de sistemas de ecuaciones. Asimismo, para familiarizarse con el tema, se puede dar una ojeada a la evolución de las matrices y los determinantes a través de los tiempos y al por qué de su existencia consultando esta página web: Historia de las matrices y determinantes.




CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Para introducirnos en el objeto de estudio de este math-block se puede consultar la página web, perteneciente al "Proyecto Thales", que trata sobre matrices y determinantes. En ella se explican los siguientes conceptos:

  • Introducción a las matrices
  • Definición de matriz
  • Algunos tipos de matrices
  • Operaciones con matrices
    • Trasposición de matrices
    • Suma y diferencia de matrices
    • Producto de una matriz por un número
    • Propiedades simplificativas
    • Producto de matrices
    • Matrices inversibles
    • Cálculo de la matriz inversa usando determinantes
    • Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa
    • Rango de una matriz
    • Cálculo del rango usando determinantes
    • Cálculo del rango por el método de Gauss
  • Determinantes
    • Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3
    • Cálculo de determinantes por los adjuntos de una línea
    • Propiedades de los determinantes
    • Cálculo de determinantes por el método de Gauss
    • Aplicaciones de los determinantes
  • Cálculo del rango de una matriz
  • Cálculo de la matriz inversa
  • Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales
  • Cálculos con matrices

Si lo que se quiere es disponer de unas explicaciones, en papel impreso, éstas se hallan en la siguiente dirección: Apuntes de matrices y determinantes, en donde se resumen -en formato zip- los conceptos de:

  • Definición de matriz
  • Operaciones con matrices
  • Matriz inversa
  • Definición de determinante
  • Propiedades de los determinantes
  • Rango de una matriz
  • Sistemas de ecuaciones
  • Sistema de Cramer
  • Tª de Rouche
  • Sistemas homogéneos

Asimismo, en álgebra matricial aparecen una serie de puntos (definiciones, suma, resta, producto, potencias, inversa, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales) orientados a conseguir soltura en la manipulación de matrices y determinantes. Contiene un "generador de ejercicios" con el que generar los propios tests sin necesidad de deternerse a programar.

Por último, para practicar los cálculos con matrices, está la calculadora on-line de matrices y determinantes con la que es posible sumar, restar, hacer el producto, calcular matrices adjuntas y traspuestas, determinantes... de hasta tres matrices a la vez.




EJERCICIOS RESUELTOS

Para practicar con ejercicios, en general, sobre matrices y determinantes se puede consultar ejercicios sobre matrices y determinantes, en general. (nivel I/M)

Para profundizar en el tema, con ejercicios de nivel M/A, recomendamos consultar aquí. En esta página web los ejercicios aparecen divididos en cuatro bloques:

  • Álgebra de matrices
  • Inversión de matrices
  • Determinantes
  • Sistemas de ecuaciones lineales.

Para practicar la "Regla de Sarrus" y las propiedades de los determinantes, es aconsejable realizar los ejercicios que aparecen en la página web: Cálculo de determinantes. Y, de igual manera, en la siguiente dirección, para practicar con la matriz inversa, en donde aparecen una serie de ejercicios resueltos clasificados por orden de dificultad (nivel I/M/A), desde los más fáciles a los más difíciles.




BIBLIOGRAFÍA
Anton, Howard (1997): "Introducción al álgebra lineal". ISBN: 968-18-5192-7. Capítulos 1 y 2.
Ayres, Frank (1991): "Álgebra moderna". ISBN: 968-422-917-8. Capítulo 14.
Hernández, Eugenio (1994): "Álgebra y geometría". ISBN: 84-7829-024-9. Capítulos 1 y 2.
Meseguer Artolà, Antoni (2001): "Iniciación a las matemáticas para las ciencias empresariales". ISBN: 84-8429-206-1. Capítulo 3.1.
Prieto Sáez, Emilio (1992): "Ejercicios resueltos de matemáticas 1: economía y empresa". ISBN: 84-8004-044-0. Capítulo 2 del volumen 1.
Spiegel, Murray R. (1991): "Álgebra superior". ISBN: 968-422-925-9. Capítulos 26 y 27.
Tejero Escribano, Luís (1997): "Álgebra para informática". ISBN: 84-362-2934-7. Capítulos 2 y 3.



ENLACES
Pàgina web del "Proyecto Thales".

http://www.okmath.com

Página web de "OK math". Contiene gran cantidad de problemas y ejercicios de matemáticas (nivel bachillerato y universidad).
Página web con gran cantidad de ejercicios resueltos junto a los conceptos teóricos necesarios para su resolución.
http://www.uoc.edu/in3/e-math Consultar el apartado de Álgebra (sección materiales) para profundizar en el álgebra de matrices (y matriz inversa) y determinantes.



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