L'evolució que ha experimentat el programari matemàtic, especialment en la darrera dècada, ens ofereix noves maneres d'ensenyar, aprendre i fer matemàtiques. Sorprenentment, a moltes de les nostres universitats aquesta possibilitat no ha suposat canvis significatius en la didàctica de les assignatures d'aquesta àrea de coneixement. Per a això caldria un procés d'innovació que és lluny d'haver-se produït. En aquest article es fa una reflexió de la situació actual, es comenten alguns inconvenients perquè aquest procés es produeixi, es donen un seguit d'arguments (complementats amb alguns exemples) segons els quals resulta convenient (si no necessari) modificar el disseny curricular de moltes assignatures i, per últim, es proposen futures línies d'estudi relacionades amb el tema.
|
|
 |
"Si un maestro del Madrid de los Austrias volviera a la vida se llevaría un susto ante un quiosco de periódicos y casi enloquecería frente al televisor, pero recobraría la tranquilidad al entrar en una escuela porque allí vería hacer más o menos las mismas cosas que se hacían en su tiempo…"
Alberto Moncada
, Sociología de la educación |
"Computer algebra systems are threatening enough to the traditional mathematics curriculum and to those who would defend its every foible, but they tend to be hard to use, which limits their power to subvert. If our students are going to have access to something that not only gives them the chance to do routine calculations by machine, but does so in a way they can easily get to grips with, then it looks as if we'll all need to think hard about what kind of things we might usefully teach them instead"
Phil Ramsden
(Imperial College)
|
| 1.
| Introducció |
Les tendències en l'ensenyament s'orienten, actualment, vers l'enfortiment de competències, coneixements i valors fonamentals per a aprendre. Aquestes tendències identifiquen els avenços tecnològics com un recurs valuós capaç d'acompanyar l'ensenyament de diferents matèries en qualsevol etapa educativa.
Avui dia, seria bo que fossin pocs els professors que posessin en dubte l'autèntica revolució que, tant en la investigació com en l'ensenyament universitari, han suposat els desenvolupaments tecnològics de final del segle XX, especialment l'ús dels ordinadors i d'Internet. L'experiència quotidiana demostra que, malauradament, l'afirmació anterior no és tan òbvia com podria semblar a priori.
En poc més d'una dècada hem passat d'utilitzar una màquina d'escriure a fer servir un processador de text, d'utilitzar calculadores a fer servir fulls de càlcul, de servir-nos del correu ordinari a servir-nos del correu electrònic, de recórrer a l'esquadra i el cartabó a recórrer a programes sofisticats de disseny gràfic, de poder consultar la biblioteca de la universitat a poder consultar centenars de biblioteques i bases de dades en línia, etc.
Sens dubte, tots els canvis anteriors han suposat no solament un increment significatiu de la capacitat productiva dels estudiants i els professors (les eines informàtiques obren línies innovadores d'experimentació i investigació i alhora afavoreixen la generació de recursos didàctics nous i millors), sinó també una manera nova de crear i difondre coneixements i experiències cognitives.
Al nostre entendre, hi ha un camp en què l'ús dels avenços tecnològics encara no s'ha mostrat, com a mínim en aquest país, amb totes les seves possibilitats: l'ensenyament de les matemàtiques. Si bé és cert que l'ús dels ordinadors i de programes i llenguatges informàtics ha anat força lligat a l'ensenyament d'assignatures com ara el càlcul numèric, la investigació operativa i l'estadística, encara ara es pot apreciar un cert recel a l'hora de fer un pas més enllà i introduir aquestes eines com a component bàsic en cursos d'anàlisi o d'àlgebra lineal, en les quals podrien ser realment útils. Així, doncs, creiem que aquests recursos s'han d'integrar en el currículum (què cal ensenyar i com cal fer-ho) com a elements importants d'aquest.
|
|
 |
| 2.
| Per què no es fa servir tot el potencial dels programes matemàtics? |
Al nostre entendre, hi ha diferents causes:
1. En primer lloc, s'ha de considerar que, fins fa poc, no hi havia programes matemàtics d'ús realment senzill, potents, i a un preu raonable. Això ha fet que bona part del professorat desconegui les veritables capacitats d'aquestes eines noves que el desenvolupament tecnològic posa a la nostra disposició.
2. En segon lloc, hi ha l'esforç addicional que suposa, especialment per als mestres, haver de dissenyar assignatures en què s'integrin els conceptes teòrics amb pràctiques, aplicacions i problemes orientats a l'ús d'algun programari específic. En relació amb això, pot esdevenir preocupant la poca predisposició d'alguns docents a la formació continuada i al reciclatge professional.
3. Finalment, i no menys important, hi ha la por que provoca en molts professors de matemàtiques el fantasma de l'automatització dels processos de càlcul: si l'ordinador ho fa tot... què aprendran els estudiants?
Quant al primer punt, avui dia ja és possible trobar en el mercat programes d'àmbit matemàtic i estadístic que combinin la facilitat d'ús d'un processador de text amb una potència de càlcul (tant numèric com simbòlic) i de representació gràfica realment destacables, tot això a un preu força raonable per a la institució universitària que n'adquireix les llicències (en molts casos, hi ha també una llicència especial per a estudiants[1]).
Pel que fa a l'esforç de professors per adaptar la seva metodologia a aquestes eines noves i l'esforç que cal fer per conèixer-ne el funcionalment, és prou coneguda la problemàtica i la dificultat que planteja qualsevol proposta d'innovació, tant en qüestions metodològiques com curriculars, en qualsevol nivell d'ensenyament. En aquest cas, el nivell universitari no es troba exempt d'obstacles enfront de la introducció de canvis. Respecte a això, podem trobar diferents estudis, com ara el que ha fet el Departament de Didàctica de les Ciències Experimentals i Socials de la Universitat de València. S'hi fa un repàs dels aspectes més importants que influeixen en la dificultat d'ensenyar i implantar reformes educatives i, en conseqüència, innovacions metodològiques[2].
Finalment, pel que fa al "fantasma de l'automatització", aquestes pors són més pròpies dels qui volen convertir els seus estudiants en màquines de calcular i/o de memoritzar que en professors creatius, amb una capacitat de raciocini desenvolupada, dotats de sentit crític, i amb una bona dosi d'intuïció i de recursos matemàtics que els puguin ser útils en la seva feina. Com indiquen Nancy Dávila i els seus col·laboradors en un article sobre l'ús de l'ordinador en la docència de les matemàtiques[3], "si es pot prescindir de la part mecànica de cada problema, és possible dedicar més temps a l'anàlisi dels conceptes que intervenen i de les solucions resultants".
|
|
|
| 3.
| Quins són realment els avantatges que ofereix un ús adequat dels programes matemàtics respecte a una formació "tradicional"? |
Els avantatges de l'ús correcte del programari matemàtic amb les característiques descrites anteriorment són diversos: en primer lloc, permet al mestre explicar conceptes que, d'altra manera, quedarien en un nivell d'abstracció difícil d'assimilar per molts estudiants en poc temps: volums generats per funcions en rodar sobre un eix, representacions de superfícies en 3D, conceptes i resultats teòrics susceptibles de ser comprovats empíricament (com ara l'aproximació d'una funció mitjançant polinomis de Taylor, la convergència de sèries infinites, l'existència de moviments caòtics, el teorema central del límit, etc.). A més, aquesta mena de programari permet una participació molt més activa i creativa (potser el terme hauria de ser constructivista) per part de l'estudiant: amb aquesta eina, l'estudiant es podrà endinsar ell mateix (preferentment de manera guiada pel seu professor) en mons nous que li permetran conjecturar, experimentar i extreure conclusions. Tot això obre a qualsevol estudiant amb uns coneixements mínims d'informàtica tot un ventall de possibilitats (simulació estadística, programació d'algoritmes numèrics, anàlisi avançada de problemes d'investigació operativa i d'optimització, etc.) que eren poc o gens factibles fa només cinc o deu anys, quan els programes matemàtics eren tan rudimentaris i complexos com els processadors de text o els full de càlcul de l'època. En definitiva, i amb paraules de la professora María Victoria Sánchez (Universitat de Sevilla), "saber matemàtiques ara s'entén no solament com una acumulació de fets i procediments, sinó com la capacitat de 'fer' matemàtiques".
El fet de disposar d'aquests programes obre la possibilitat de tenir un laboratori matemàtic potent que sempre acompanyarà l'estudiant en el procés d'aprenentatge, li permetrà fer proves complexes de càlcul numèric i simbòlic i, d'aquesta manera, traslladarà solucions i estratègies des dels contextos teòrics originals a d'altres de nous molt més intel·ligibles per a ell.
Per si no n'hi hagués prou amb el que hem exposat més amunt, hi ha, a més, una altra raó de pes: la individualització del procés d'ensenyament. En efecte, l'ús d'aquest tipus de programari facilita l'adaptació curricular a les necessitats i interessos de cada alumne i, d'aquesta manera, esdevé el complement perfecte del mestre i dels materials: cada alumne podrà reforçar, amb l'ajut d'aquesta mena de programes, els punts conceptuals que li costin més d'assimilar, i practicar amb aquests tants cops com el temps (i les ganes) li permetin.
És molt important observar també que l'aprenentatge d'aquest tipus de programari es pot interpretar en clau d'inversió de temps. Aquesta inversió es començarà a rendibilitzar totalment quan l'estudiant comenci a exercir com a professional, tant si és de manera liberal com en l'àmbit d'una empresa en què se li exigeixi l'ús d'aquestes eines.
Per acabar, és obvi que l'ús correcte d'un bon programa matemàtic pot esdevenir un element fonamental en la motivació de l'estudiant, tant per les raons que hem dit anteriorment com pel dinamisme i la interactivitat que s'aconsegueix en el procés.
|
|
|
|
| 5.
| Conclusions |
L'objectiu final de l'ensenyament en nivells superiors ha de ser formar bons professionals, preparats per a incorporar-se al món laboral amb garanties de poder desenvolupar la seva tasca de manera eficient i, si pot ser, que aportin la frescor innovadora que el seu procés de formació els hauria de proporcionar. En concret, les universitats s'haurien de convertir en la punta de llança a l'hora de proposar nous processos, mètodes, teories, i conceptes, i haurien de proveir els diferents àmbits professionals d'aquestes persones a partir de la incorporació dels acabats de titular. Potser és una idea utòpica però no hauríem de perdre-la de vista. Aquesta no és solament una de les missions de les universitats sinó, segons el nostre entendre, la més important juntament amb l'activitat investigadora. Per això, els mètodes d'ensenyament han de tenir en compte la necessitat d'un procés constant de renovació que estigui d'acord amb les necessitats del món laboral.
El que passa amb l'ensenyament de la matèria que ens ocupa, les matemàtiques, sembla una situació contradictòria. Les ciències matemàtiques es poden considerar part fonamental dels treballs d'investigació i desenvolupament en àmbits destacats com les tecnologies de la informació i la comunicació, les ciències (experimentals o econòmiques) i les enginyeries. Per aquest motiu, el fet que sigui una de les àrees de coneixement amb el mètode d'ensenyament i aprenentatge que ha evolucionat menys en els darrers quaranta anys, no deixa de ser una paradoxa (convidem al lector a fer una revisió dels programes actuals de matemàtiques a diferents universitats espanyoles).
Així, doncs, sembla bastant obvi que el present i el futur de l'educació en l'àmbit de les matemàtiques passa inevitablement per la implantació gradual d'aquestes eines noves i per un canvi en els mètodes d'ensenyament-aprenentatge. Sens dubte, haurem d'apostar per una manera d'aprendre que empri els conceptes de manera pràctica i augmenti la capacitat de raonar dels nostres estudiants, de resoldre problemes no rutinaris, de comunicar i utilitzar contextualment les idees matemàtiques, etc. Això suposarà una revolució en l'ensenyament universitari de les matemàtiques? Com passa gairebé sempre, la tecnologia ens proporciona els mitjans i queda en les nostres mans saber aprofitar-los com cal...
|
|
|
| 6.
| Futures línies de treball |
Els autors pensem que mereix un capítol a part l'anàlisi de com ha anat evolucionant, en els darrers vint anys, la integració d'aquesta mena de programes en els plans d'estudi d'assignatures quantitatives en diferents universitats representatives del nostre país. Fins i tot, l'anàlisi es podria ampliar a la resta d'Europa i, posteriorment, complementar-la amb una comparació entre l'evolució experimentada al nostre continent i l'experimentada als EUA.
|
|
|
| EXEMPLES: |
Exemple 1: anàlisi de sensibilitat (PL) amb Excel
Aquest apartat és un exemple de com podem utilitzar la macro Solver d'Excel per a resoldre un problema de programació lineal i posteriorment fer l'anàlisi de sensibilitat associat.
En aquest cas, l'anàlisi que es proposa en l'exemple, seria veritablement tediosa o fins i tot impracticable sense l'ajut de l'ordinador. Tothom coneix les dificultats i les limitacions que comporta fer manualment l'algoritme Simplex.
És obvi que dissenyar aquesta mena d'activitats i integrar-les en el programa de l'assignatura requerirà no solament un bon coneixement del programari sinó, a més, una coherència didàctica respecte a allò que se li proposa a l'estudiant, tenint en compte els conceptes o continguts que pretenem reforçar amb aquestes activitats. En aquest sentit, és fonamental oferir a l'estudiant una guia de com, quan i per a què ha d'utilitzar aquesta eina informàtica. Incloure l'aprenentatge i l'ús del programari específic per a les assignatures de matemàtiques en un nivell d'ensenyament superior requereix replantejar-se tant la metodologia com el mateix currículum de l'assignatura (selecció diferent de continguts).
|
|
Problema: Una companyia fabrica televisors, equips d'alta fidelitat i altaveus utilitzant un seguit de components comuns, tal com s'indica en la taula inferior.
Aquests components estan disponibles en quantitats limitades, per la qual cosa es tracta de plantejar el problema de la maximització restringida de beneficis sabent que la contribució neta dels tres productes és, respectivament, de 75 €, 50 €, i 35 €.
Solució:
El primer pas és plantejar el problema en el full de càlcul:
En el menú de diàleg de Solver hem d'especificar els inputs del problema (a fi de facilitar la lectura i la interpretació del problema, hem fet servir noms per a referir-nos a les cel·les corresponents):
Entre les possibilitats que ofereix Solver, ens interessa seleccionar en aquest cas la casella Adoptar model lineal dins d'Opcions:
Un cop hem arribat a aquest punt, n'hi ha prou amb prémer el botó Resoldre per obtenir la finestra de Resultats (Excel s'encarrega d'aplicar els laboriosos càlculs que requereix el mètode Simplex ):
Escollim les opcions Respostes i Sensibilitat:
Excel ens donarà l'output següent:
Un cop identificats els components de l'informe, la interpretació és gairebé immediata: la solució òptima és produir 200 televisors, 200 equips hi-fi, i cap altaveu.
La columna de Cost (Gradient) Reduït ens indica que no serà rendible produir altaveus si no és que el benefici que aquests generin augmenta en 2,5 € (i arriba a 37,5 €).
Si examinem els Rangs dels Coeficients Objectiu, observem que la solució actual no variaria si el benefici generat per cada televisor es mogués en el rang 70-100 €, o si el generat pels equips hi-fi ho fes en el rang 37,5-75 €, o si el dels altaveus no s'incrementés més de 2,5 €.
Els Preus Duals determinen, juntament amb els Rangs del Right-Hand-Side, que estaríem disposats a pagar fins a 12,5 € per cada unitat addicional de cons fins a un màxim de 100 cons, i fins a 25 € per cada unitat addicional de components electrònics fins a un màxim de 50 components.
Convé observar que, per contra, perdríem 25 € per cada component electrònic que ens prenguessin dels 600 disponibles, fins a un màxim de 200 unitats (xifra a partir de la qual caldrà tornar a programar l'exercici).
|
|
[tornar]
Exemple 2: distribució mostral i TCL
L'exemple següent posa de manifest com l'estudiant pot utilitzar un paquet estadístic per disposar d'un laboratori virtual en el qual pot dur a terme experiments interessants. Pensem que, en les propostes metodològiques de l'ensenyament de les assignatures quantitatives, caldria fomentar que l'estudiant treballés amb dades que representin una aplicació pràctica del que està aprenent.
|
|
Per tal de visualitzar el Teorema de Distribució de les Mitjanes Mostrals, simularem, amb l'ajut del Minitab, l'extracció de k = 100 mostres d'una variable normal amb mitjana 80 i desviació típica 5. Agafarem com a n = 9 la mida de cada mostra:
Seleccionem Calc > Random Data > Normal :
Omplim els camps tal com s'indica en la imatge inferior:
D'aquesta manera, haurem generat una matriu de 9 columnes i 100 fileres. Cada component d'aquesta matriu és una observació aleatòria provinent d'una distribució normal de mitjana 80 i desviació estàndard 5. Considerarem que cada una de les fileres obtingudes és una mostra i el que farem ara serà calcular la mitjana associada amb cada una d'aquestes 100 mostres:
Seleccionem Calc > Row Statistics i omplim els camps tal com s'indica:
Ara disposem de 100 valors nous (les mitjanes) situats a la columna 20. A continuació, es mostren els Dotplot associats amb les columnes C1 (que representa 100 valors aleatoris obtinguts d'una normal 80-5), i C20:
Seleccionem Graph > Character graph > Dotplot :
Finalment, també analitzarem els estadístics que descriuen la distribució de les mitjanes mostrals:
Observem el següent:
1. La distribució de la v.a. inicial X era normal i, segons el gràfic de punts anterior, sembla que la distribució de la v.a. X-barra també és normal, la mitjana és molt semblant i la desviació estàndard menor (els punts de la X-barra estan menys dispersos que els de la X).
2. Més concretament, la mitjana dels 100 valors continguts a C20 (i que és una aproximació a la mitjana de la v.a. X-barra) és de 79,566 , un valor molt semblant a la mitjana de X (que era de 80). Això és coherent amb el que la teoria ens indica:
3. La desviació estàndard dels 100 valors a C20 (que serà una aproximació a la desviació estàndard de X-barra) és de 1,596 . Si prenem la desviació estàndard de X (que era de 5) i la dividim per 3 (arrel de 9, la mida de la mostra), obtenim el valor 1,667. Ambdós valors són molt semblants, tal com prediu la teoria:
És interessant notar que tot i no haver pres inicialment una variable normalment distribuïda, les conclusions obtingudes serien semblants sempre que la mida mostral n fos prou gran (tal com prediu el Teorema Central del Límit). El procés de simulació que cal seguir és anàleg a l'anterior.
|
|
[tornar]
Exemple 3: representació gràfica de funcions
Una de les potencialitats didàctiques d'aquestes eines és la possibilitat de visualitzar gràficament determinats conceptes teòrics o resultats, la qual cosa permet una assimilació dels conceptes més bona i més ràpida. Resulta evident que la utilització d'aquests recursos es pot aplicar en diversos entorns professionals i/o educatius, cosa que els fa encara més interessants i necessaris.
En l'exemple següent l'objectiu és visualitzar el concepte matemàtic de punt de sella i entendre què passa en el seu entorn.
|
|
Si el valor d'una funció f(x,y) en un punt crític (x0,y0), no és ni un màxim ni un mínim, aleshores aquest punt es denomina punt de sella.
L'elecció del nom no és casual: un exemple clar del susdit punt de sella (que sent un punt crític no és un màxim ni un mínim), seria el del punt central d'una sella de muntar a cavall:
|
|
[tornar]
Exemple 4: equacions diferencials
Entre les innumerables opcions que els programes matemàtics actuals ofereixen, una de les més interessants és la possibilitat de programar, de manera senzilla, tot un conjunt de mètodes numèrics de resolució.
A continuació, veurem com podem utilitzar a la pràctica el mètode de Heun per a estimar la solució d'un problema de Cauchy (un problema en el qual intervé una equació diferencial ordinària juntament amb unes condicions inicials). En aquest cas, a més, obtindrem una representació gràfica d'aquesta solució aproximada i la compararem amb la solució exacta.
Exemple: resoldre el Problema de Cauchy: y' = (x-y) / 2 en [0,3] amb y(0) = 1. Utilitzar el mètode de Heun amb m = 20 passos.
[tornar]
|
|
|
|
|
ABRAMOVICH, S.; NORTON, A. (2001) "Technology-Enabled Pedagogy as an Informal Link Between Finite and Infinite Concepts in Secondary Mathematics". The Mathematics Educator. Vol. 10, núm. 2. [En línia]:
http://jwilson.coe.uga.edu/DEPT/TME/Issues/v10n2/3abramovich.html
|
|
ALEMÁN DE SÁNCHEZ, A. (1999) La enseñanza de la matemática asistida por computadora. [En línia]:
http://www.utp.ac.pa/articulos/ensenarmatematica.html
|
|
ARCHER, J. (1998) The Link to Higher Scores. [En línia]:
http://www.edweek.org/sreports/tc98/ets/ets-n.htm
|
|
BERGER, T.; POLLATSEK, H. (2001). Mathematics and Mathematical Sciences in 2010: What Should Students Know? [En línia]:
http://www.maa.org/news/students2010.html
|
|
CHRISTMANN, E.; BADGETT, J. (1999). "A Comparative Analysis of the Effects of Computer-Assisted Instruction on Student Achievement in Differing Science and Demographical Areas". Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching. Vol. 18, núm. 2.
|
|
DÁVILA, N.; HERNÁNDEZ, J.; et al (1998) El uso del ordenador en las matemáticas para la economía y empresa. Una experiencia en la Universidad de las Palmas de G.C. [En línia]:
http://www.uv.es/asepuma/jornadas/santiago/29.PDF
|
|
DUGDALE, S.; THOMPSON, P. (1995) "Technology and Algebra Curriculo Reform; Current Issues, Potential Directions, and Research Questions".Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching. Volume 14, Number 3.
|
|
FERGUSON, D. (1993) Advanced Educational Technologies for Mathematics and Science. Berlín: Springer Verlag.
|
|
GANTER, S. L. (2000). Calculus Renewal: Issues for Undergraduate Mathematics Education in the Next Decade
|
|
GIL, D.; CARRASCOSA, J; FURIÓ, C.; ET AL. Los cambios curriculares en la Educación Científica y la Formación del profesorado. [En línia].Valencia: Departamento de Didáctica de las Ciencias Experimentales y Sociales. Universitat de Valencia.
http://www.oei.org.co/fpciencia/introduccion.htm
|
|
GUTIÉRREZ, A.; LABORDE, C.; NOSS, R.; ET AL. Tools and technologies. European Society for Research in Mathematics Education. [En línia]:
http://www.fmd.uni-osnabrueck.de/ebooks/erme/cerme1-proceedings/papers/g2-introduction.pdf
|
|
JIANG, Z.; POTTER, W. D. (1993). "A mathematical microworld for students to learn introductory probability". The Mathematics Educator. Núm. 4, p. 4-12.
|
|
KAPUT, J. (1992). Technology and mathematics education. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmillan.
|
|
KEITEL, C.; RUTHVEN, K. (1993). Learning from Computers: Mathematics Education and Technology. Berlin: Springer.
|
|
KENT, P.; WOOD, J.; RAMSDEN, P. (1996). Experiments in Undergraduate Mathematics : A Mathemática-Based Approach. World Scientific Pub Co.
|
|
MURPHY, L. (1997). Computer Algebra Systems in Calculus Reform:
http://www.mste.uiuc.edu/murphy/Papers/CalcReformPaper.html
|
|
LANGTANGEN, H.; TVEITO, A. (2000). "How Should We Prepare the Students of Science and Technology for a Life in the Computer Age?". Mathematics Unlimited - 2001 and Beyond. Springer Verlag.
|
|
POLLATSEK, H. (1998). Computer Algebra Systems in Education. [En línia]:
http://www.dean.usma.edu/math/pubs/case/casejan.pdf
|
|
SCHWARTZ, J. L. (1999). "Can Technology Help Us Make the Mathematics Curriculo Intellectually Stimulating and Socially Responsible?" International Journal of Computers for Mathematical Learning. Vol. 4, Núm. 2/3, p. 99-119.
|
|
SUTHERLAND, R. (1999). "Didactical Complexity of Computational Environments for the Learning of Mathematics. International Journal of Computers for Mathematical Learning. Vol. 4, núm. 1, p. 1-26.
|
|
TOMÀS, M., ET AL. (2000). El cambio de la cultura universitaria en el s.XXI: consecuencias en los procesos de E/A. [En línia]:
http://dewey.uab.es/mtomas/consecue.htm
|
|
WILSON, J.W. (1998). Technology in Mathematics Teaching and Learning. [En línia]:
http://jwilson.coe.uga.edu/Texts.Folder/Tech/Technology.Paper.html
|
|
|
[Data de publicació: juliol 2001]
|
| | |
